把椭圆规的工作原理用数学语言表述如下：如下图所示，有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上。点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值。那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹就是一个椭圆。
怎么证明上面的结论呢？
如下图所示，AB即为定长的线段（图中绿色），它的端点A位于XX'上，端点B位于YY'上；点P为AB上那个确定的点。过点P作YY'轴的平行线，过点O作AB的平行线。两线交于点Q。从而得到平行四边形OBPQ（图中阴影四边形所示）。不管AB怎么运动，这个四边形都是平行四边形，所以BP=OQ。
因为BP的长度确定，所以OQ的长度也确定。所以，点Q的轨迹是一个以O为圆心，以OQ为半径的圆。设点N为PQ与XX'轴的交点。显然有三角形APN相似于三角形QON。于是
PN : NQ = PA : OQ
由OQ=BP，代入上式，得
PN : NQ = PA : BP
这个比值是一个定值。
在圆上找到点Q关于直线XX'的对称点Q'。当然有N'Q=NQ。所以，上式变为：
PN : NQ'= PA : BP
也就是说，
PN : NQ'= 定值
于是，我们把问题转化为前面那个问题。从而点P的运动轨迹是一个椭圆。容易得出椭圆的长半轴就是圆的半径，等于定直线AB上点P到点B的距离。也就是椭圆标准方程中的半长轴a。类似地，PA的长度就是椭圆标准方程中的半短轴b。这个椭圆的标准方程是：
即
下面的动画给出了定线段AB在第一象限内运动的情况，得到四分之一个椭圆。然后由对称性就可以得出整个椭圆。
上面所说是针对点P位于AB内部。本文开始时的椭圆规的动画中，描出椭圆的点在AB的外部（AB延长线或BA的延长线上），这种情况我们也可以用上面的方法得到。其实，一个椭圆有两种方法画出。下面的动画给出了另一种画图过程。其中AB为定长线段，A和B分别位于XX'轴和YY'轴上。点P位于BA的延长线上。
最后，下面动画是对点P在AB内部情况下椭圆规画椭圆的全过程的软件模拟（与开头那个椭圆规动画不一样）。您可以照着我这个动画制作一个实物椭圆规。
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